Ejemplo de ley de enfriamiento newtoniano

Ya habiendo aprendido sobre la ley de enfriamiento de Newton, decidí ponerme a hacer otras cosas, todo había quedado muy claro. Pasaron los días y llegó el sábado, todo normal, quería invitar a algunos amigos a comer algo rico y así fue. Salí al mercado a comprar un gran pavo y otros ingredientes para la cena —qué se yo, tenía hambre y hay que comer, además ni sé por qué un pavo, de cena, y no otra cosa—.

Cuando finalmente terminé con el pavo, lo saqué del horno, todo rostizado, muy sabroso y ¡muy caliente! (pero igual, así lo quería, calientito). El pavo estaba a 185°F, o sea, estaba caliente. Pero, el ambiente estaba a 75°F y el pavo se me iba a enfriar antes de que llegaran los invitados (que eran algo incumplidos al pavo) que no iban a poder disfrutar el pavo conmigo. A la media hora, el pavo estaba a 150°F y yo me comenzaba a preocupar. Entonces, me pregunté a mi mismo, cuál sería la temperatura a 45 minutos después. Rápidamente, me entro la gran duda, qué sería, a qué hora (sabiendo que saqué el pavo a las 7:12 pm) el pavo ya se habría enfriado a 100°F.

Velozmente, comencé a hacer cálculos matemáticos que me dieran la respuestas, y todo siguió así:

t	T
0 min	185°F
30 min	150°F

T_m = 75°F  siendo este la temperatura del ambiente

gracias a la fórmula:

obtuve:

T = 75 + (185 - 75)e^kt

habiendo reducido la ecuación hasta obtener:

150 = 75 + 110e^kt
75 = 110e^kt

e^kt = 15/22 = 0.6818181818

Puse logaritmo natural a ambos lados y despejé K y t 

Kt = Ln(0.6818181)

K = Ln(0.6818181) / t

Luego, remplacé t y listo, tuve la constante de proporcionalidad.

K = Ln(0.6818181) /30
K = -0.012766


Habiendo tenido esto, continué a resolver mi duda.



1)

Si saqué el pavo y a los 30 minutos ya se había enfriado a 150°F, pero querría saber que le pasaría a los 45 minutos después: 30min + 45min = 75min. Realicé esto:

T = 75 + 110e^{k * (75)}

T = 75 + 110e^{-0.012766 * (75)}
T = 117.225°F

En conclusión a esto, el pavo se estaba enfriando.


2)

A que hora se iba a enfriar a 100°F, era la otra duda, la gran duda que tenía.

iguale T a 100°F y despejé t (esa es la variable de tiempo, la que está en mayúscula es la de temperatura)

100 = 75 + 110e^kt

25 = 110e^kt

5/22 = e^kt

aquí se aplica logaritmo natural en ambos lados y luego puedo despejar t

t = Ln(5 / 22) / k

t = 116.058 minutos

o sea, Se me iba a enfriar pronto!!



si sacamos un rápido cálculo, obtenemos que se enfriaría a las 9:08pm (si no es que hice mal el cálculo)



Y así, señores y señoras, chico y hermosa dama, gente que le dio hambre con leer esto o personas que no entendieron por estar pendiente al pavo... Ya terminé.

¿Quieres saber el final de la historia?

Pues, ellos llegaron, me dijeron que habían tenido un problema con el vehículo. Yo le expliqué todo lo que habíamos hecho el pavo y yo (referido a las matemáticas ¬¬ ), y prometieron que la próxima vez vendrían a ayudarme con la preparación. Luego fueron por comida ya que el pavo no se dejó enfriar —yo si tenía hambre—.