Solución de una Ecuación Diferencial

Para obtener la solución a una ecuación diferencial debemos saber que lo que buscamos es una función y=Φ(x), que al sustituirla en la ecuación cumpla la igualdad. Esta función estará definida siempre en un intervalo I con al menos n derivadas. Si remplazamos se cumplirá la ecuación, así podremos saber que todo está bien.

Ejemplo:

y'' -6y' +13 = 0  ;  con la solución y = e^(3x) · cos(2x)
derivamos...
y' = 3e^(3x) ·cos(2x) -2e^(3x) ·sen(2)
y'' = 4e^(3x) ·cos(2x) -6e^(3x) ·sen(x) -6e^(3x) ·sen(2x) -4e^(3x) ·cos(2x)
sustituimos...
revisamos el dominio de cada derivada y se los dos son en los reales, entonces todo será en los reales.

A veces nos quedará algo como ésto y tendremos que mirar cómo definimos el intervalo:

Otra cosa que puede pasar es que nos de una solución que contiene una y'. La remplazamos y listo.

Solución explícita e implícita

Es explícita cuando la solución está dada en nuestra variable independiente y'.  En caso de que no, será implícita, siento ésta caracterizada porque no se tiene de un lado de la igualdad una variable, sino que todo está revuelto.

Curvas solución

Éstas parten de una gráfica, de una función solución, que hace que se cumpla la igualdad. Hay soluciones a ecuaciones diferenciales que solo se cumplen en un determinado rango, es allí donde se gráfica ese trozo de curva generada por la función y se obtiene lo que se llama curva de solución de una ecuación diferencial.

Sistemas de ecuaciones diferenciales

Al igual que con los sistemas de ecuaciones en el álgebra normal, acá también podemos crear sistemas de ecuaciones donde una solución en una ecuación también satisface a las otras ecuaciones. Éstas constan de dos o más ecuaciones (como ya mencioné) con las derivadas de dos o más variables dependientes.