Introducción a ecuaciones diferenciales

Bueno antes que nada tenemos que recordar que es una ecuación diferencial, al menos que nunca hayas escuchado este nombre y vengas buscando una definición. Es por eso que os diré de forma clara qué es y algunas otras cosas interesantes, para comenzar, que debéis saber sobre ellas.

La podemos definir como «Aquella que contiene derivadas o diferenciales de una/varias variable(s) dependiente con respecto a una/varias independiente(s). Es una función desconocida con una/varias de sus derivadas». Un poco corto esa definición, por eso el link a la mayor enciclopedia libre. Ahora veamos unos ejemplares:

Ejemplar de ecuación diferencial

y : variable dependiente. Ésta es la que varía con respecto a «algo». Buscaremos una función.
x : variable independiente.
parámetros ➝ cantidades constantes.

Clasificación

A continuación veréis las diferentes forma como se clasifican las ecuaciones diferenciales. Entre ellas están si son ordinarias o parciales, según su orden, según su grado y según la linealidad.

Ecuaciones ordinarias

En éstas las variables dependiente depende solamente de una variable independiente.

Ecuaciones diferenciales parciales

En cambio, éstas dependen de varias variables independientes (éstas usan las derivadas parciales).

Orden en las ecuaciones diferenciales

Las E.D. tienen un orden, y tampoco es muy difícil buscarlo. Éste es la mayor derivada en la ecuación. Recordar que una E.D. puede ser ordenada de la forma: F(x, y, y', y'', y''', ...)

Ejemplo:
7·sen(x) + 4y'''' - 3x⁴·y''' + 8·lnx·y'' = 12
F(x, y, y', y'', y''', y'''')
Como podemos observar, la máxima derivada es IV. Cabe decir que no se usan las cuatros primas ('), pero por comodidad  al momento de escribir el ejemplo lo hice.

Grado

Lo indica el exponente al cual está elevada la derivada de mayor orden de la variable desconocida. Ahora bien, necesitamos conocer algunas cosas que son necesaria al momento de obtener el grado:

• Tenemos que buscar la variable con mayor orden y en ella obtendremos el grado.
• La derivada no puede ser usada como argumento de otra función, ya que si es así, no se define el orden.
• La ecuación debe estar expresada como un polinomio, si no es así, tampoco se define el orden. 

Linealidad

Para poder saber si una ecuación es linea debemos revisar las siguientes restricciones a cumplir:

• La variable y (o sea, la dependiente, en el caso de que no sea y) junto a todas las derivadas deben ser de grado 1.
• El coeficiente sólo depende de la variable independiente x (al menos que estemos usando otra).

Bueno, eso es todo por ahora... Recuerda estudiar!
Es por esto que dejaré para vosotros (o para mí mismo en un futuro) estos ejercicios para que practiques un ratito: Clasifica las ecuaciones diferenciales.